Matrice (mathématiques)

termes calculatoires et donc opérationnels les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires comme c'est le cas en optique géométrique avec Une matrice à m lignes et n colonnes est un tableau rectangulaire de mn nombres, rangés ligne par ligne. Il y a m lignes, et dans chaque ligne n nombres.

Passons maintenant à la définition formelle. Soient A un ensemble et (m,n) un couple d'entiers positifs. Le plus souvent, l'ensemble A est muni d'une structure de corps commutatif mais on utilise aussi fréquemment des matrices à coefficients dans un anneau.

On appelle matrice à coefficients dans A, de dimension (ou taille) (m,n) (c'est-à-dire à m lignes et n colonnes), une famille (ai,j) d'éléments de A indexée par le produit cartésien des ensembles de nombres entiers [1,m] et [1,n].

La matrice M pourra être notée par


ou plus simplement (ai,j)i,j, voire (ai,j) si le contexte s'y prête.

On représente généralement une matrice sous la forme d'un tableau rectangulaire. Par exemple, est représentée ci-dessous une matrice M, à coefficients entiers, et de dimension (3,4) :


Dans cette représentation, le premier coefficient de la dimension est le nombre de lignes, et le deuxième, le nombre de colonnes du tableau. Une matrice pour laquelle le nombre m de lignes est égal au nombre n de colonnes sera dite matrice carrée de taille n. Une matrice ne comportant qu'une seule ligne et n colonnes est appelée matrice ligne de taille n. Une matrice ne comportant m lignes et une seule colonne est appelée matrice colonne de taille m.

Pour repérer un coefficient d'une matrice, on indique son indice de ligne puis son indice de colonne, les lignes se comptant du haut vers le bas et les colonnes de la gauche vers la droite. Par exemple, on notera ai,j, les coefficients de la matrice M, pour désignant le numéro de la ligne sur laquelle figure le coefficient envisagé, et désignant son numéro de colonne ; ainsi a2,4=7.

La disposition générale des coefficients d'une matrice M de taille (m,n) est donc la suivante


Pour effectuer certaines opérations, il peut être utile de travailler sur le système des lignes ou des colonnes d'une matrice. On pourra alors l'écrire sous une des formes suivantes

ou .
L'ensemble des matrices à coefficients dans A possédant m lignes et n colonnes est noté Mm,n(A) (ou parfois M(m,n,A)).

Lorsque m=n on note plus simplement Mn(A).

Soit , on appelle transposée de M la matrice . Remarquons que .

Par exemple, avec la matrice M des exemples précédents, on a


L'opération de transposition est involutive, c'est-à-dire que .


Espaces de matricesOn suppose maintenant que A est muni d'une structure d'anneau unitaire ; les éléments de A seront appelés scalaires, par opposition aux matrices dont nous allons voir qu'elles peuvent être considérées comme des vecteurs.


Addition et multiplication par un scalaire On définit sur Mm,n(A) une loi de composition interne provenant de l'addition des scalaires :

(ai,j) + (bi,j) = (ci,j) ou
On ne peut additionner que deux matrices de même taille.

Exemple :

Pour chaque valeur du couple (m,n), l'espace Mm,n(A) devient alors un groupe abélien, d'élément neutre la matrice nulle, celle dont tous les coefficients valent 0.

On définit aussi une opération à gauche de A sur chaque espace Mm,n(A)en associant à chaque matrice (ai,j) à coefficients dans A et chaque scalaire λ dans A, la matrice λ(ai,j) = (λai,j) obtenue en effectuant la multiplication, dans A, de tous les coefficients de la matrice initiale par λ : c'est la multiplication par un scalaire.

En reprenant toujours la matrice M du premier exemple :


Les espaces Mm,n(A) ainsi obtenus ont donc une structure de A-module à gauche, et plus particulièrement de A-espace vectoriel, si A est un corps commutatif.